概述

工科的同学对阶跃响应应该不会陌生，简单来说，阶跃响应是指输入量发生阶跃变化时动态系统的输出阶跃响应，通过分析输出阶跃响应的性能指标，可以分析和比较动态系统的动态性能和稳态性能。

阶跃响应性能指标定义

阶跃响应性能指标主要包括稳态值、上升时间、峰值时间和超调量，定义如下：
稳态值ys：当时间趋近于无穷大时，阶跃响应的输出值，ys=y(∞)。
上升时间tr：输出阶跃响应达到90%稳态值时所对应的时刻。
峰值时间tm：输出阶跃响应峰值ym所对应的时刻。
超调量σ：输出阶跃响应峰值ym与稳态值ys之差所占稳态值ys的百分比, σ%= (ym-ys)/ys。
调整时间ts：输出阶跃响应进入稳态值ys±Δ误差带范围内所对应的时刻, 一般取Δ=0.02或Δ=0.05。

Matlab函数

按照阶跃响应性能指标的定义，作者使用Matlab开发了函数Fun_Step_Performance.m，使用数值算法求出各类阶跃响应的性能指标值，函数简单、易用、通用性好。

function [ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y,drawflag)
% [ys,tr,ts,ov] = Fun_Step_Performance(t,y) 标准阶跃响应的性能指标求解
% 本程序适用于标准阶跃响应曲线，末尾时间必须已经接近稳态值
% t-y 为阶跃响应的时间-输出配对序列，可由[y,t] = step(sys)求得
% drawflag为时候作图标志，不输入或输入非0值时，默认作图，输入0时不做图
% ys 稳态值
% tr 上升时间，默认为0-90%的上升时间
% ts 调整时间，默认为2%的调整时间
% tm 为峰值时间
% ov 超调量 %
% e.g.
%  sys = tf(1,[1 2*0.5*1 1]);
%  [y,t] = step(sys,15);
%  [ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y,1);

示例

求一阶系统阶跃响应性能指标

% Eg 1 一阶系统
sys = tf(1,[3 1]);
[y,t] = step(sys,25);
[ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y);

%% 阶跃响应指标结果：
上升时间：7s
调整时间：11.5s
峰值时间：25s，超调量：0%
稳态值：1
%% 阶跃响应指标结果显示结束

求复杂系统阶跃响应性能指标

sys = tf(1,[1 2*0.20*1 1]) * tf(1,[2 1]) * tf([1.5 1],[1 2*0.25*3 9]);  % 5阶系统
[y,t] = step(sys,35);
[ys,tr,ts,tm,ov] = Fun_Step_Performance(t,y);

%% 阶跃响应指标结果：
上升时间：2.0877s
调整时间：17.3158s
峰值时间：3.5614s，超调量：40.1285%
稳态值：0.111
%% 阶跃响应指标结果显示结束

求解不同阻尼比时二阶系统的阶跃响应性能指标

% Eg 3 求解不同阻尼比时二阶系统的阶跃响应特性
wn = 1;    % 固有频率
kes_vet = [0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2];   % 阻尼比序列
figure
hold on
for ii = 1:length(kes_vet)
    kes = kes_vet(ii);
    sys = tf(1,[1 2*kes*wn wn^2]);   % 二阶系统传递函数
    [y,t] = step(sys,50);            % 阶跃响应
    [ys(ii),tr(ii),ts(ii),tm(ii),ov(ii)] = Fun_Step_Performance(t,y,0);  % 求解阶跃响应,不绘图
    plot(t,y)
    Str{ii} = [ '\xi = '  num2str(kes)];
end
legend(Str)
xlabel('时间t/s')
ylabel('输出响应y')
 
figure
subplot(221)
plot( kes_vet,tr,'-o' )
xlabel('阻尼比\xi')
ylabel('上升时间/s')
subplot(222)
plot( kes_vet,ts,'-o' )
xlabel('阻尼比\xi')
ylabel('调整时间/s')
subplot(223)
plot( kes_vet,tm,'-o' )
xlabel('阻尼比\xi')
ylabel('峰值时间/s')
subplot(224)
plot( kes_vet,ov,'-o' )
xlabel('阻尼比\xi')
ylabel('超调量/%')

tr =
    1.8349    2.0737    2.4540    2.9954    4.0000    4.9407

ts =
   19.2661    8.2949    5.8282    3.6866    5.5000    7.9051

tm =
    3.2110    3.4562    3.9877    5.1843   40.0000   50.0000

ov =
   52.6622   25.3725    9.4610    1.5144         0         0

对于二阶系统，阻尼比的变化不影响输出稳态值，随着阻尼比增加，上升时间逐步增大、调整时间先减小再增大、峰值时间逐步变大、超调量逐步变小；当阻尼比在0.707左右时，上升时间和调整时间较快，且超调量很小，系统综合性能较好，工程上通常设计阻尼比在0.707左右，称之为最佳阻尼比。

联系作者

有Matlab/Simulink方面的技术问题，欢迎发送邮件至[email protected]讨论。
更多Matlab/Simulink原创资料，欢迎关注微信公众号：Matlab Fans

源程序下载:

1. https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAwOTk1NDcyMw==&mid=2247483741&idx=1&sn=b37d10b7ae5f5feee6a967ec77682991&chksm=9b56f591ac217c87040918b60b053d3c95a93476509502c643f4151b96140c91aa346262c846&token=1240415358&lang=zh_CN#rd
2. 扫码关注微信公众号Matlab Fans，回复BK06获取百度网盘下载链接。