技术标签: 数据结构
从数学的视角来看,动态规划是一种运筹学方法,是在多轮决策过程中的最优方法。
那么,什么是多轮决策呢?其实多轮决策的每一轮都可以看作是一个子问题。从分治法的视角来看,每个子问题必须相互独立。但在多轮决策中,这个假设显然不成立。这也是动态规划方法产生的原因之一。
接下来看一个非常典型的例子,最短路径问题。如下图所示:
每个结点是一个位置,每条边是两个位置之间的距离。现在需要求解出一条由 A 到 G 的最短距离是多少。
不难发现,我们需要求解的路线是由 A 到 G,这就意味着 A 要先到 B,再到 C,再到 D,再到 E,再到 F。每一轮都需要做不同的决策,而每次的决策又依赖上一轮决策的结果。
例如,做 D2 -> E 的决策时,D2 -> E2 的距离为 1,最短。但这轮的决策,基于的假设是从 D2 出发,这就意味着前面一轮的决策结果是 D2。由此可见,相邻两轮的决策结果并不是独立的。
动态规划还有一个重要概念叫作状态。在这个例子中,状态是个变量,而且受决策动作的影响。例如,第一轮决策的状态是 S1,可选的值是 A,第二轮决策的状态是 S2,可选的值就是 B1 和 B2。以此类推。
动态规划问题之所以难,是因为动态规划的解题方法并没有那么标准化,它需要你因题而异,仔细分析问题并寻找解决方案。虽然动态规划问题没有标准化的解题方法,但它有一些宏观层面通用的方法论:
下面的 k 表示多轮决策的第 k 轮
了解了方法论、状态、多轮决策之后,我们再补充一些动态规划的基本概念。
一般而言,具有如下几个特征的问题,可以采用动态规划求解:
到这里,动态规划的概念和方法就讲完了。接下来,我们以最短路径问题再来看看动态规划的求解方法。在这个问题中,你可以采用最暴力的方法,那就是把所有的可能路径都遍历一遍,去看哪个结果的路径最短的。如果采用动态规划方法,那么我们按照方法论来执行。
4.1 动态规划的求解方法
具体的解题步骤如下:
分阶段 很显然,从 A 到 G,可以拆分为 A -> B、B -> C、C -> D、D -> E、E -> F、F -> G,6
个阶段。
找状态
第一轮的状态 S1 = A,第二轮 S2 = {B1,B2},第三轮 S3 = {C1,C2,C3,C4},第四轮 S4 = {D1,D2,D3},第五轮 S5 = {E1,E2,E3},第六轮 S6 = {F1,F2},第七轮 S7 = {G}。
做决策
决策变量就是上面图中的每条边。我们以第四轮决策 D -> E 为例来看,可以得到 u4(D1),u4(D2),u4(D3)。其中 u4(D1) 的可能结果是 E1 和 E2。
写出状态转移方程
在这里,就是 sk+1 = uk(sk)。
定目标
别忘了,我们的目标是总距离最短。我们定义 dk(sk,uk) 是在 sk 时,选择 uk 动作的距离。例如,d5(E1,F1) = 3。那么此时 n = 7,则有,
v k , 7 ( s 1 = A , s 7 = G ) = ∑ k = 1 7 d k ( s k , u k ) v_{k, 7}\left(s_{1}=A, s_{7}=G\right)=\sum_{k=1}^{7} d_{k}\left(s_{k}, u_{k}\right) vk,7(s1=A,s7=G)=k=1∑7dk(sk,uk)
就是最终要优化的目标。
寻找终止条件
很显然,这里的起止条件分别是,s1 = A 和 s7 = G。
接下来,我们把所有的已知条件,凝练为上面的符号之后,只需要借助最优子结构,就可以把问题解决了。最优子结构的含义是,原问题的最优解所包括的子问题的解也是最优的。
套用在这个例子的含义就是,如果 A -> … -> F1 -> G 是全局 A 到 G 最优的路径,那么此处 A -> … ->
F1 也是 A 到 F1 的最优路径。
因此,此时的优化目标 min Vk,7(s1=A, s7=G),等价于 min { Vk,6(s1=A, s6=F1)+4,
Vk,6(s1=A, s6=F2)+3 }。
此时,优化目标的含义为,从 A 到 G 的最短路径,是 A 到 F1 到 G 的路径和 A 到 F2 到 G 的路径中更短的那个。
同样的,对于上面式子中,Vk,6(s1=A,s6=F1) 和 Vk,6(s1=A,s6=F2),仍然可以递归地使用上面的分析方法。
4.2 计算过程详解
好了,为了让大家清晰地看到结果,我们给出详细的计算过程。为了书写简单,我们把函数 Vk,7(s1=A, s7=G) 精简为 V7(G),含义为经过了 6 轮决策后,状态到达 G 后所使用的距离。我们把图片复制到这里一份,方便大家不用上下切换。
我们的优化目标为 min Vk,7(s1=A, s7=G),因此精简后原问题为,min V7(G)。
因此,最终输出路径为 A -> B1 -> C2 -> D1 -> E2 -> F2 -> G,最短距离为 18。
4.3 代码实现过程
接下来,我们尝试用代码来实现上面的计算过程。对于输入的图,可以采用一个 m x m 的二维数组来保存。在这个二维数组里,m 等于全部的结点数,也就是结点与结点的关系图。而数组每个元素的数值,定义为结点到结点需要的距离。
在本例中,可以定义输入矩阵 m(空白处为0),如下图所示:
代码如下:
public class testpath {
public static int minPath1(int[][] matrix) {
return process1(matrix, matrix[0].length-1);
}
// 递归
public static int process1(int[][] matrix, int i) {
// 到达A退出递归
if (i == 0) {
return 0;
}
// 状态转移
else{
int distance = 999;
for(int j=0; j<i; j++){
if(matrix[j][i]!=0){
int d_tmp = matrix[j][i] + process1(matrix, j);
if (d_tmp < distance){
distance = d_tmp;
}
}
}
return distance;
}
}
public static void main(String[] args) {
int[][] m = {
{
0,5,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},{
0,0,0,1,3,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},{
0,0,0,0,8,7,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,6,8,0,0,0,0,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,3,5,0,0,0,0,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,0,0,0,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,8,4,0,0,0,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,0,0,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,5,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,5,2,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,6,6,0},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4},{
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3}};
System.out.println(minPath1(m));
}
}
代码解读:
代码的 27 行是主函数,在代码中定义了二维数组 m,对应于输入的距离图。m 是 15 x 16 维的,我们忽略了最后一行的全 0(即使输入也不会影响结果)。
然后调用函数 minPath1。在第 2 到第 4 行,它的内部又调用了 process1(matrix, matrix[0].length-1)。在这里,matrix[0].length-1 的值是 15,表示的含义是 matrix 数组的第 16 列(G)是目的地。
接着进入 process1 函数中。我们知道在动态规划的过程中,是从后往前不断地推进结果,这就是状态转移的过程。对应代码中的 13-24 行:
d_tmp = matrix[j][i] + process1(matrix, j)
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