技术标签: python 计算机视觉|目标跟踪 开发语言
状态方程是根据上一时刻的状态和控制变量来推测此刻的状态
以下摘自
卡尔曼滤波五个公式各个参数的意义
卡尔曼滤波算法有两个基本假设:
卡尔曼滤波算法分为两步:预测和更新
1,: 分别表示 k - 1 时刻和 k 时刻的后验状态估计值,是滤波的结果之一,即更新后的结果,也叫最优估计(估计的状态,根据理论,我们不可能知道每时刻状态的确切结果所以叫估计)。
2,: k 时刻的先验状态估计值,是滤波的中间计算结果,即根据上一时刻(k-1时刻)的最优估计预测的k时刻的结果,是预测方程的结果。
3,:分别表示 k - 1 时刻和 k 时刻的后验估计协方差(即的协方差,表示状态的不确定度),是滤波的结果之一。
4,:k 时刻的先验估计协方差(的协方差),是滤波的中间计算结果。
5,:是状态变量到测量(观测)的转换矩阵,表示将状态和观测连接起来的关系,卡尔曼滤波里为线性关系,它负责将 m 维的测量值转换到 n 维,使之符合状态变量的数学形式,是滤波的前提条件之一。
6,:测量值(观测值),是滤波的输入。
7,:滤波增益矩阵,是滤波的中间计算结果,卡尔曼增益,或卡尔曼系数。
8,:状态转移矩阵,实际上是对目标状态转换的一种猜想模型。例如在机动目标跟踪中, 状态转移矩阵常常用来对目标的运动建模,其模型可能为匀速直线运动或者匀加速运动。当状态转移矩阵不符合目标的状态转换模型时,滤波会很快发散。
9,Q:过程激励噪声协方差(系统过程的协方差)。该参数被用来表示状态转换矩阵与实际过程之间的误差。因为我们无法直接观测到过程信号, 所以 Q 的取值是很难确定的。是卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量,也叫预测模型本身带来的噪声。状态转移协方差矩阵
10:R: 测量噪声协方差。滤波器实际实现时,测量噪声协方差 R一般可以观测得到,是滤波器的已知条件。
11,B:是将输入转换为状态的矩阵
这里真实值为 x=-0.377,且假设A=1, H=1
观测值存在噪声,那么如何估计出实际的值呢?
这里给出两种方案,一种是北卡大学开源的,直接通过公式计算的结果
# -*- coding=utf-8 -*-
# Kalman filter example demo in Python
# A Python implementation of the example given in pages 11-15 of "An
# Introduction to the Kalman Filter" by Greg Welch and Gary Bishop,
# University of North Carolina at Chapel Hill, Department of Computer
# Science, TR 95-041,
# http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/kalmanIntro.html
# by Andrew D. Straw
#coding:utf-8
import numpy
import pylab
#这里是假设A=1,H=1的情况
# 参数初始化
n_iter = 50
sz = (n_iter,) # size of array
x = -0.37727 # 真实值
z = numpy.random.normal(x,0.1,size=sz) # 观测值 ,观测时存在噪声
Q = 1e-5 # process variance
# 分配数组空间
xhat=numpy.zeros(sz) # x 滤波估计值
P=numpy.zeros(sz) # 滤波估计协方差矩阵
xhatminus=numpy.zeros(sz) # x 估计值
Pminus=numpy.zeros(sz) # 估计协方差矩阵
K=numpy.zeros(sz) # 卡尔曼增益
R = 0.1**2 # estimate of measurement variance, change to see effect
# intial guesses
xhat[0] = 0.0
P[0] = 1.0
for k in range(1,n_iter):
# 预测
xhatminus[k] = xhat[k-1] #X(k|k-1) = AX(k-1|k-1) + BU(k) + W(k),A=1,BU(k) = 0
Pminus[k] = P[k-1]+Q #P(k|k-1) = AP(k-1|k-1)A' + Q(k) ,A=1
# 更新
K[k] = Pminus[k]/( Pminus[k]+R ) #Kg(k)=P(k|k-1)H'/[HP(k|k-1)H' + R],H=1
xhat[k] = xhatminus[k]+K[k]*(z[k]-xhatminus[k]) #X(k|k) = X(k|k-1) + Kg(k)[Z(k) - HX(k|k-1)], H=1
P[k] = (1-K[k])*Pminus[k] #P(k|k) = (1 - Kg(k)H)P(k|k-1), H=1
pylab.figure()
pylab.plot(z,'k+',label='noisy measurements') #观测值
pylab.plot(xhat,'b-',label='a posteri estimate') #滤波估计值
pylab.axhline(x,color='g',label='truth value') #真实值
pylab.legend()
pylab.xlabel('Iteration')
pylab.ylabel('Voltage')
pylab.figure()
valid_iter = range(1,n_iter) # Pminus not valid at step 0
pylab.plot(valid_iter,Pminus[valid_iter],label='a priori error estimate')
pylab.xlabel('Iteration')
pylab.ylabel('$(Voltage)^2$')
pylab.setp(pylab.gca(),'ylim',[0,.01])
pylab.show()
另外一种是调用from filterpy.kalman
里的卡尔曼滤波函数
from filterpy.kalman import KalmanFilter
import numpy as np
np.random.seed(0)
kf = KalmanFilter(dim_x=1, dim_z=1)
kf.F = np.array([1])
kf.H = np.array([1])
kf.R = np.array([0.1**2])
kf.P = np.array([1.0])
kf.Q = 1e-5
xhat[0] = 0.0
P[0] = 1.0
for k in range(1,n_iter):
kf.predict()
xhat[k] = kf.x
kf.update(z[k], 0.1**2, np.array([1]))
pylab.figure()
pylab.plot(z,'k+',label='noisy measurements') #观测值
pylab.plot(xhat,'b-',label='a posteri estimate') #滤波估计值
pylab.axhline(x,color='g',label='truth value') #真实值
pylab.legend()
pylab.xlabel('Iteration')
pylab.ylabel('Voltage')
pylab.figure()
valid_iter = range(1,n_iter) # Pminus not valid at step 0
pylab.plot(valid_iter,Pminus[valid_iter],label='a priori error estimate')
pylab.xlabel('Iteration')
pylab.ylabel('$(Voltage)^2$')
pylab.setp(pylab.gca(),'ylim',[0,.01])
pylab.show()
python-opencv中的卡尔曼滤波函数
kalman = cv2.KalmanFilter(1, 1)
kalman.transitionMatrix = np.array([[1]], np.float32) # 转移矩阵 A
kalman.measurementMatrix = np.array([[1]], np.float32) # 测量矩阵 H
kalman.measurementNoiseCov = np.array([[1]], np.float32) * 0.01 # 测量噪声 R
kalman.processNoiseCov = np.array([[1]], np.float32) * 1e-5 # 过程噪声 Q
kalman.errorCovPost = np.array([[1.0]], np.float32) # 最小均方误差 P
xhat = np.zeros(sz) # x 滤波估计值
kalman.statePost = np.array([xhat[0]], np.float32)
for k in range(1, n_iter):
# print(np.array([z[k]], np.float32))
mes = np.reshape(np.array([z[k]], np.float32), (1, 1))
# # print(mes.shape)
xhat[k] = kalman.predict()
kalman.correct(np.array(mes, np.float32))
pylab.figure()
pylab.plot(z, 'k+', label='noisy measurements') # 观测值
pylab.plot(xhat, 'b-', label='a posteri estimate') # 滤波估计值
pylab.axhline(x, color='g', label='truth value') # 真实值
pylab.legend()
pylab.xlabel('Iteration')
pylab.ylabel('Voltage')
pylab.show()
三者都能得到同一结果
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