引入：

有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量:例如，掷骰子朝上一面的点致，一唇夜 110 接到的呼叫次数等均为离散型随机变量.

2.2.1 离散型随机变量的分布律

定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为 X1，X2则Xi取龙，的概率P{X=2.1=力，i=1.2…称为子的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数.X的分布律也可用如下方式表示X元1I 2P.bp2Pi

显然分布律具有如下性质：

*1）非负性：p，≥0,i=1,2

（2归一性：三力。（这里在概率论习题册——第二章第一题有所体现）

上述两条既是分布律具有的性质，同时也是判别某个数列能否成为某个离散型随机变量的分布律的充要条件．（这里在概率论习题册 ——第二章第二题考察了，当时不会）（启发：学习到了判断离散型随机变量的分布律的充要条件）根据分布函数的定义，易知离散型随机变量 区的分布两数为FCO=PX<E=，力∞＜元∞

【例2.5】 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以概

率力禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数(设各组信

号灯的工作是相互独立的）,求区的分布律.

解因为每一组信号灯禁止汽车通过的概率为力，允许汽车通过的概率为

1一力,所以区的分布律为

【例2.6】 设离散型随机变量 又的分布律为孓3P;1/41/21/4试求 尸（×≤0.5).P（1.5<X≤2.5)，并写出X的分布函数

解

P{x≤0.5>=P1×==1=1/4,

P{1.5<X≤2.5)=P{X=2)=1/2.

了的分布两数为

F(x)[0,<-1,1/4,-1<x< 2,

1/4 +1/2, 2<2 <3,

z≥3

F(z)的图形呈阶梯形右连续，如图2.1所示,在X的

可能取值一1,2,3处有跳跃点,其跃度分别为 1/4,1/2,1/4.2

图2.1X的分布两数

2.2.2 常用离散分布

1.0-1分布

定义 2.4 如果随机变量叉只可能取0 与1两个值，它的分布律是

X（1一力1一力，k=0,1，0＜力＜1则称 叉 服从参数为力的0-1分布或两点分布：0-1分布的分布律也可写成力：力对对于一个随机试验，如果它的样本空间2 只包含的个样不点a1，02,我们总能在2上定义一个服从 0-1分布的随机变量0,E019X = X (00) =W= 02

来描述这个随机试验的结果

2.二项分布

在前面介绍的 ， 重伯努利试验中我们已经知道，若事件A 在每次试验中发生的

概率为P（④)一力（0二力＜1）,则n 次试验中事件 A 发生k 次的概率为

P=C.D*(1一力)0-k，

k=0.1.•.

定义2.5 如果随机变量叉 的分布律是

p(X=k)=C0C1一力）n-

则称x服从二项分布，记为X～B（n.D5

k=0,l,-,n

拉热，B(1，p)就是0-1 分布，实际上二项分布是n 重伯务利试验的概率模型，

二项分布是一种常用的离散分布.例如，在一大批产品中随机抽查 10个产品,10

个产品中不合格品的个数x 服从二项分布B（10•0），其中力为不合格品率，又如，

在某地区随机调查 50个人，50个人中惠色盲的人数了服从二项分布 B(50.力），其中

力为色盲率

【例 2.7】

一大批零件,其次品率为 0.05,现从中任意连续抽取 5个,求其中至少

有一个是次品的概率

解将抽取一个零件观察它是否为次品作为一次试验，任意连绫抽取5个可以

看成是连线进行了 5次试验，本题是不放回抽样，因而各次试验并不独立,这不是5

重伯努利试验,但由于零件总数很多，而只需抽出 5个,故可近似地作为放回抽样來

处理,这种抽取过程可近似看成是 5 重伯努利试验.

以X记抽出的5个零件中次品的个数,则x～B(5,0.05），所以所求的概率为

P×≥1=1=P×=0=1=C0.05°（1=0.05）5-0=0.226.

【例2.8】 设x~B（2,p，Y~B（3,力），若P{X≥1>=5/9,试求P￥≥1>.

解由P{x≥11=5/9,知P{x三0>一4/9,所以（1一力）?=4/9,由此得力=1/3.

再由Y~B(3，力）,可得P{Y≥11=1-P（￥=0)=1=（1=1/③）3=19/27.

3.泊松分布

泊松分布是概率论中又一种重要的离散分布，它在理论和实践中都有广泛的

应用.

x'

定义2.6 如果随机变量区的分布律为P(X=R)=

KreA二0为参数，k=0.

1,2,••，则称 叉服从参数为入的泊松分布,记为x~PO

【例 2.9】某种铸件的砂眼(缺陷）数服从参数为入一0.5的泊松分布，试求该铸

件至多有一个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品）的概率.

解以X表示铸件的砂眼数,由题意知X~P(0.5）,则该种铸件上至多有1个

砂眼的概率为

Px≤1

0.50

0!

e-2.540.5!

-e 0.5 = 0.91,

1!

至少有2个砂眼的概率为

P{x≥2¥=1

-Px≤1=0.09.

在二项分布 B(n,力）的概率计算中,往往计算量很大,利用下面的泊松定理近似

计算，可以大大減少计算量.下面不加证明地给出泊松定理

定理 2.1（泊松定理〉 设入二0 是一个常数，n 是任意正整数，设10=15力与力

有关）,则对于任一固定的非负整数R，有

4 lim Cs p1（1 -力)0-k

k！

定理的条件2p一入(常数)意味着当n很大时力必定很小,因此,当几很大力很小

时，有下面近似计算公式

Cip' (1 - p) "-* :

-e”， k=0,1,2,•

k!

该公式说明，在对二项分布 B（n ，力)计算概率时，如果n很大力很小，可以由参

数为入一几力的泊松分布的概空值近似.下面给出一个利用泊松分布作近似计算的

例子

【例,2.10】 已知某种非传染疾病的发病率为0.001,某单位共有5000人,问该单

位患有这种疾病的人数不超过5人的概率为多少？

解

率为

设该单位患有这种疾病的人数为叉，则有叉~B(5000,0.001），则所求概

Px<5= 2 Ctooo 0.00140.999 30pe-l

取入一功一5,用泊松分布近似计算并查附录一中附表 1得

P8≤5<>5%

k!

€=5

=0.616.

在应用中，诸如服务系统中寻求服务的呼叫次数，产品的缺陷(如布匹上的疵点

玻璃内的气泡等)数，

-定时期内出现的稀有事件《如意外事故、自然灾害等)个数,放

射性物质发射出的离子数等,这些例子都是刀大力 小的二项分布，所以常用泊松分

布为其概率模型进行研究 以服务系统中的呼叫次数为例，服务设施的用户数n很

大,每个用户在指定时问内使用这 个设施的概率 ， 很小，而且各用户使用情况又独

立.因此，服务系统中的呼叫次数应是八 大p 小的二项分布，由泊松定理，可以近似次

为服从入一n0 的泊松分布。上述应用表明，泊松分布广泛用于社会生活的许至方面，

它在运筹学、管理科学中占有突出的地位