技术标签: 概率论与数理统计
加法定理
A,B是任意两个事件,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
A,B是任意两个事件,则P(A-B)=P(A非B)=P(A)-P(AB)
定义1.4 A,B是两个事件,且P(A)>0,称P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,记为P(B|A),即有 P(B|A)=P(AB)/P(A)
条件概率也满足
P((~B)|A)=1-P(B|A)
P((B1UB2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P[(B1B2)|A]
当B属于C时,P[(C-B)|A] =P(C|A)-P(B|A)
典型考题:考察一个有两个小孩的家庭,假如已看见该家庭中的一个小孩是男孩,问另一个小孩也是男孩的概率是多大(假设另一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)
设A:已看见一个是男孩 A={(男,女),(女,男),(男,男)} B=另一个小孩是男孩 AB={(男,男)}
P(A)=3/4 P(AB)=1/4
P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/4) / (3/4) =1/3
定义1.8(概率乘法公式)
若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)
若P(A)>0,P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
定理1.9 (全概率公式)
设A1,A2,A3是样本空间 Ω的一个划分,B是任意一个事件,则P(B)= ∑P(Ai)P(B|Ai) (从i到n求和)
定理1.10(贝叶斯公式)
P(Ai|B)=P(AiB)|P(B)= P(Ai)P(B|Ai) / Σ从k=1加和到n(P(Ak)P(B|Ak))
P(AB)=P(A)P(B)代表 A 和B事件相互独立
抛硬币就是N重伯努利试验,特点:
在每次试验中,任意事件出现概率与其他各次试验的结果无关
一次试验只有两个结果:A和 非A
定理1.13 在伯努利试验E中,成功的概率是p,即P(A)=p,则在n重伯努利试验En中,成功k次的概率是:
Pn(k)=Cn kpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.
二项分布
设随机变量X的分布列为
Pk=Cn kpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n;0
均匀分布
正态分布:
设随机变量X服从正态分布N(μ,σ 2),则E(x)=μ,D(x)=σ 2
指数分布
设随机变量X服从参数为λ的指数分布,D(x)=1/λ 2
性质1 设c是常数,则有E(c)=c
性质2 设X是随机变量,c是常数,则
E(cx)=cE(X)
性质3 设X,Y是任意两个随机变量,则有
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量,择优
E(XY)=E(X)E(Y)
D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}
经过计算整理得
D(X)=E(X2)-E[(X)]2
性质1 设c是常数,则有D(c)=0 证明略
性质2 设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=c2D(X). 证明略
性质3 设X,Y为任意两个随机变量,则
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
特别,当X与Y相互独立时,有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
证明略
例题1:若ξ,η相互独立且同服从分布N(0,1) ,Z=ξ+2η,则( )
由题意知 E(ξ+2η)=E(ξ)+2E(η)=0+2*0=0
D(ξ+2η)=D(ξ)+22 * D(η)1+4 * 1=5
所以:E(z)=0,D(z)=5,Z~N(0,5)
注明: N(0,1)的N 表示正态分布,0是均值,1是方差
例题2:
若ξ~N(0,1),η=2ξ+1,则η~( 1,4 )
由题意知: E(η)=2E(ξ)+1=2 * 0+1=1
D(η)=22D(ξ)=4 * 1=4
在区间[-2, 2]里任取两个实数,它们的和>1的概率是(9/32)
解析:
画直角坐标系,x和y的取值范围都在[-2,2],所以是一个面积为4 * 4=16的正方形
画x+y=1,即y=-x+1的直线,与正方形相交于(-1,3)和(2,-1),所以线与正方形围城一个面积为3 * 3 * 0.5=4.5的三角形
所以概率为4.5/16=9/32
AUBUC=A+B+C-A交B-B交C-A交C+A交B交C
例题:参加支付宝夜谈分享的同学共有50人,现设有甲、乙、丙三个夜谈主题。有40人选择参加甲夜谈主题,36人选选择参加乙夜谈主题,30人选择参加丙夜谈主题,兼选甲乙夜谈主题的有28人,兼选甲丙夜谈主题的有26人,兼选乙丙两门夜谈主题的有24人,甲乙丙三个夜谈主题均选的有20人,问三个夜谈主题未选的有多少人?( 2)
例题:假设一段公路上,1小时内有汽车经过的概率为96%,那么,30分钟内有汽车经过的概率为?
解析:一小时有车的概率 = 1 - 一小时没车的概率 = 1 - 两个半小时都没车的概率 = 1 - (1 - 半小时有车的概率)^2
1-(1-x)^2=0.96
x = 0.8
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Markdown 是一种轻量级标记语言,它允许人们使用易读易写的纯文本格式编写文档,然后转换成格式丰富的HTML页面。 —— [ 维基百科 ]
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Markdown Extra 表格语法:
项目 | 价格 |
---|---|
Computer | $1600 |
Phone | $12 |
Pipe | $1 |
可以使用冒号来定义对齐方式:
项目 | 价格 | 数量 |
---|---|---|
Computer | 1600 元 | 5 |
Phone | 12 元 | 12 |
Pipe | 1 元 | 234 |
定义 D
定义D内容
代码块语法遵循标准markdown代码,例如:
@requires_authorization
def somefunc(param1='', param2=0):
'''A docstring'''
if param1 > param2: # interesting
print 'Greater'
return (param2 - param1 + 1) or None
class SomeClass:
pass
>>> message = '''interpreter
... prompt'''
生成一个脚注1.
用 [TOC]
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更多LaTex语法请参考 这儿.
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