Matrix

Overview

OpenGL中的坐标系

• World Coordinates（世界坐标系）

• Object Coordinates(对象坐标系、模型坐标系、局部坐标系或当前绘图坐标系)

• Eye Coordinates(眼坐标系或照相机坐标系)

• Clip Coordinates(裁剪坐标系)

• Normalized Device Coordinates (NDC) (归一化设备坐标系)

• Window Coordinates (Screen Coordinates)(屏幕坐标)
  

OpenGL通过矩阵的变化来对几何数据，列如：顶点坐标，法向量（nomal vector）等，在raterization process之前于OpenGL管道里进行顶点操作和图元装配等变换。

下图为矩阵变化的过程图：

Object Coordinates

是物体在进行任何变换之前自身的坐标系和其初始位置及朝向，可以通过glRotate，glTranslate，glScale函数来改变物体。

Eye Coordinates

视点坐标是通过GL_MODELVIEW 矩阵与物体坐标相乘得到的，从物体空间转至视点空间使用OpenGL自带的GL_MODELVIEW 矩阵，GL_MODELVIEW 矩阵是MODE矩阵和VIEW矩阵的组合，MODE矩阵将物体空间转换到世界空间，VIEW矩阵将世界空间转换到视点空间。

在OpenGL中没有独立的相机（视点）矩阵，因此为了模拟相机或视点的变换，场景（3D 物体和灯光）必须由视点变换的逆变换得到。换句话说，OpenGL定义了在视点空间中照相机的坐标永远在（0，0，0）并且面朝z的负半轴，且不能变换。

法向量也是从物体坐标系变换到视点坐标系进行光照计算的，它不同于矩阵的变换方法，它乘以GL_MODELVIEW的逆矩阵的转置。

Clip Coordinates

视点矩阵与GL_PROJECTION矩阵相乘就转换为了Clip Coordinates（剪裁坐标系）。GL_PROJECTION矩阵定义了viewing volume（视见体）（视锥体）；顶点数据是如何投影到屏幕上的（透视或正交）。称其为Clip Coordinates（剪裁坐标系）原因是变换后的顶点（x，y，z）与一个±w相比较后剪裁；

Normalized Device Coordinates (NDC)

NDC（归一化设备坐标系）由剪裁坐标系除以w获得，称为透视除法。类似于屏幕坐标系，但还未经过平移缩放到屏幕像素，在三轴的取值均被规范到-1至1。

Window Coordinates (Screen Coordinates)

由NDC经过视口转换得到，NDC经过缩放和平移来适应渲染屏幕。屏幕坐标系最终会通过OpenGL管线的 raterization process成为fragment。

glViewport()用来定义图像最终绘制时要渲染的方形区域。

glDepthRange()用来设置窗口坐标系的z值。

窗口坐标系通过下面飞出的2个函数的参数计算的到

glViewport(x, y, w, h);
glDepthRange(n, f);

视口转化方程可由NDC和窗口坐标系之间的线性关系得到

OpenGL Transformation Matrix

OpenGL使用4 x 4的矩阵进行变换操作。16个元素以列优先的顺序存在一个一维数组中。

OpenGL有4种不同的矩阵：GL_MODELVIEW(), GL_PROJECTION(), GL_TEXTURE(), 和 GL_COLOR().。可以通过glMatrixMode()来切换当前操作的是哪一个矩阵。列如：

//切换至视图矩阵
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

Model-View Matrix (GL_MODELVIEW)

Model-View矩阵包括view矩阵和model矩阵在一个矩阵里。为了转换视点，需要使用求反变换移动整个场景。gluLookAt() 可用于视点变换。

最右列的三个矩阵元素（m₁₂,m₁₃,m₁₄）用于平移变换操作，可通过glTranslate。元素m₁₅是齐次坐标系的参数w，用于透视平移。

三个元素一组（m₀,m₁,m₂），（m₄,m₅,m₆），（m₈,m₉,m₁₀）

是进行欧式/仿射变换，列如旋转glRotate()或缩放glScale()。这三个一组实际上表示3个直角坐标轴；

• (m₀, m₁, m₂) : +X axis, left vector, (1, 0, 0) by default
• (m₄, m₅, m₆) : +Y axis, up vector, (0, 1, 0) by default
• (m₈, m₉, m₁₀) : +Z axis, forward vector, (0, 0, 1) by default
  
  若是对一个顶点进行多个变换操作，OpenGL会用相反的顺序进行矩阵乘法操作。列如，如果一个顶点先由M_a进行变换，再由M_b进行变换，OpenGL会先执行M_a x *M_b*再和顶点相乘。导致后一个变换先发生而第二个变换后发生。
  

// Note that the object will be translated first then rotated
glRotatef(angle, 1, 0, 0);   // rotate object angle degree around X-axis
glTranslatef(x, y, z);       // move object to (x, y, z)
drawObject();

Projection Matrix (GL_PROJECTION)

GL_PROJECTION用于定义视锥体，视锥体定义了那些物体或物体的那些部分会被投影剪裁。他也定义的3d如何投影到屏幕上。

OpenGL提供了2个函数用于GL_PROJECTION变换。glFrustum()用于产生透视投影，glOrtho()用于正交投影。这两个函数都需要6个参数来指定6个剪裁平面：left（左），right（右），bottom（底），top（顶），near planes（近截面），far planes（远截面）。下面展示了观察视锥体的8个顶点

远截面的顶点可由相似三角形的比率来简单计算，列如，远截面的左顶点为：

对于正交变换，这些比率是1，因此远截面上下左右的值和近截面相同

也可以用gluPerspective()和gluOrtho2D()函数用更少的参数进行设定。gluPerspective()只需4个参数：FOV（垂直视域），宽高比和远近截面的距离，gluPerspective()和glFrustum()的等效转换由下列代码给出

// This creates a symmetric frustum.
// It converts to 6 params (l, r, b, t, n, f) for glFrustum()
// from given 4 params (fovy, aspect, near, far)
void makeFrustum(double fovY, double aspectRatio, double front, double back)
{
    
    const double DEG2RAD = 3.14159265 / 180;
	// tangent of half fovY
    double tangent = tan(fovY/2 * DEG2RAD);
    // half height of near plane
    double height = front * tangent;
    // half width of near plane
    double width = height * aspectRatio;      

    // params: left, right, bottom, top, near, far
    glFrustum(-width, width, -height, height, front, back);
}

若是需要指定不对称的视见体只能使用glFrustum()。列如，将一个宽景渲染成相邻的屏幕，可以将视锥体分成两个非对称的视锥体（left和right），然后在屏幕上分别渲染。

Texture Matrix (GL_TEXTURE)

材质坐标系（s，t，r，q）在材质绘制前与GL_TEXTURE相乘，默认情况下，其是单位矩阵，材质会映射到物体上你指定的材质坐标上。通过修改GL_TEXTURE，可以移动，旋转，伸展和收缩材质。

// rotate texture around X-axis
glMatrixMode(GL_TEXTURE);
glRotatef(angle, 1, 0, 0);

Color Matrix (GL_COLOR)

颜色组成（r，g，b，a）与GL_COLOR矩阵相乘。可以做到颜色空间转换和颜色组成的交换。GL_COLOR矩阵在进行GL_ARB_imaging拓展的时候是必要的。

Other Matrix Routines

glPushMatrix()：将当前矩阵压入矩阵堆栈

glPopMatrix()：将矩阵堆栈栈顶出栈，为当前矩阵

glLoadIdentity()：将当前矩阵置为单位矩阵

glLoadMatrix{fd}(m)：用矩阵m替换当前矩阵

glLoadTransposeMatrix{fd}(m)：用行优先矩阵m替换当前矩阵

glMultMatrix{fd}(m)：用矩阵m与当前矩阵相乘，结果为当前矩阵

glMultTransposeMatrix{fd}(m)：用行优先矩阵m与当前矩阵相乘，结果为当前矩阵

glGetFloatv(GL_MODELVIEW_MATRIX, m)：返回GL_MODELVIEW_MATRIX的16个值到矩阵m

Example: ModelView Matrix