高数 | 【极限与等价无穷小】等价无穷小量的替换及加减替换条件_等价无穷小加减法使用条件-程序员宅基地
可以和这一篇配合食用。
高数 | 复合函数等价无穷小经典错误 & 两个重要极限 & 什么情况下求极限可以直接带入_西皮呦的博客-程序员宅基地
一、等价无穷小量的替换的基础知识
1.定义[1]
我们都蛮喜欢用等价无穷小量的替换的，因为在记下了常见的等价无穷小量之后，这种方法我们基本不用复杂的计算。
如果用洛必达法则，我们就要算很长的时间。
2.用等价无穷小量的注意事项
但用等价无穷小量的替换需要特别注意两点（常出错的两点）
①被替换的量，必须是无穷小量（在取极限时为0）。
②被替换的量，必须是作为被乘或被除的元素，不能是被加减的元素。
③替换时必须整体替换，而不能替换局部
整体替换是什么意思呢？
其实等价无穷小量的替换，我们可以看做是原极限乘以一个极限为1的
整体替换，就是要对整个求极限的式子乘1。
这一点其实是很多人不容易注意到的。
二、深层的去理解等价无穷小量的替换
1.等价无穷小量和泰勒展开式的联系
泰勒展开式：
注：这里只写x=0处的泰勒展开，仅仅是因为懒。
我们用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，近似程度越好。
都是近似，等价无穷小量和泰勒展开的关系是什么呢？
无穷小量的等价，不过取了泰勒展开式的第一项去等价罢了。
等价无穷小量就是精度较低的泰勒展开。
仅仅从做题的角度来说，就是你能用等价无穷小量去做的题，用泰勒展开一定可以，但反过来未必。
我们用泰勒展开的方法做一下上面的例3：
2.为什么加减时我们一般不用等价无穷小量的替换
我们清楚了等价无穷小量和泰勒展开之间的关系之后，这个问题的答案我们很容易得到。
为什么加减不行？
本质是因为加减可能会导致项的抵消，抵消后，根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似，但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项，对后续的近似无能为力。
3.为什么乘除时可以无顾忌的用等价无穷小量的替换？
那为什么乘除可以呢？
因为乘除不会消去第一项近似，你等价的那个无穷小量（即泰勒展开的第一项）总会在，在就意味着轮不到你后面的高阶近似上场。
这个时候，我不需要你分子的等价无穷小量一直等价到和分母相同。
4.什么时候可以在加减中用等价无穷小量的替换?
知道为什么不能用，那什么时候能用就很简单了——我们不让相加减的两个函数的泰勒展开式的第一项（等价的无穷小量）消去就可以了呗。
证明如下
举例：
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