【TheAnnotatedTransformers】Transformer的位置编码-程序员宅基地
技术标签： The Annotated Transformer 深度学习 transformer 人工智能
为什么需要位置编码
略
什么是(三角式位置编码)Sinusoidal Position Embedding
三角位置编码属于绝对位置编码的一种。更多PE知识可以参考:链接
此部分原文请参考:Transformer Architecture: The Positional Encoding
理想情况下，位置编码应该满足如下条件：
- 它应该为每个时间步长(句子中单词的位置)输出唯一的编码
- 任意两个时间步之间的距离在不同长度的句子中应该保持一致
- 我们的模型应该无需任何努力就能推广到更长的句子并且其值应该是有界的
- 必须是确定的
在Attention is all you need 原文中提出了该方法。具体表达形式如下：
t t t是输入句子所期望的位置，也就是token的位置， p t → ∈ R d \overrightarrow{
{p}_{t}}\in {\mathbb{R}}^{d} pt∈Rd是位置编码
其中
ω k = 1 10000 2 k d {\omega }_{k}=\frac {1} {
{10000}^{\frac {2k} {d}}} ωk=10000d2k1
d d d表示模型隐藏层维度，从函数定义可以看出，频率沿着向量维度递减，因此它在波长上形成从 2 π 2{\pi} 2π到 1000 ⋅ 2 π 1000\cdot2\pi 1000⋅2π的几何级数( 波长 = 2 π / 频率 波长=2\pi/频率 波长=2π/频率)
同时，也可以将位置嵌入向量 p t → \overrightarrow{
{p}_{t}} pt，其中包含每个频率的 s i n sin sin、 c o s cos cos对。
p t → = [ s i n ( ω 1 ⋅ t ) c o s ( ω 1 ⋅ t ) s i n ( ω 2 ⋅ t ) c o s ( ω 2 ⋅ t ) . . . s i n ( ω d / 2 ⋅ t ) c o s ( ω d / 2 ⋅ t ) ] d × 1 \overrightarrow{
{p}_{t}}= \left[ \begin{matrix} sin({\omega}_{1}\cdot{t}) \\ cos({\omega}_{1}\cdot{t}) \\ sin({\omega}_{2}\cdot{t}) \\ cos({\omega}_{2}\cdot{t}) \\ .\\ .\\ .\\ sin({\omega}_{d/2}\cdot{t})\\ cos({\omega}_{d/2}\cdot{t})\\ \end{matrix} \right] _{d\times1} pt=
sin(ω1⋅t)cos(ω1⋅t)sin(ω2⋅t)cos(ω2⋅t)...sin(ωd/2⋅t)cos(ωd/2⋅t)
d×1
为什么有效果
直觉上
正弦和余弦这种组合如何表示位置/顺序呢？
假设用二进制格式来表示一个数字：
You can spot the rate of change between different bits. The LSB bit is alternating on every number, the second-lowest bit is rotating on every two numbers, and so on.（原文）
但是在浮点数的世界中，使用二进制值会浪费空间。因此，我们可以使用它们的浮点连续对应物——正弦函数。事实上，它们相当于交替的位。
结合下图，来理解一下这样设计的含义。每一行都代表了一个token，每一列代表了每个token都第i个未知元素。随着频率不断减小，则波长不断变大，此时正余弦函数对t的变动越不敏感，以此来达到越向右的旋钮，指针移动步伐越小的目的。 这也类似于二进制编码，每一位上都是0和1的交互，越往低位走（越往左边走），交互的频率越慢。关于刻度盘的论述可以参考
并且由于正余弦函数是周期函数，如果函数的频率偏大，引起的波长偏短，那么不同t下位置向量可能出现重合的情况，如下图所示，图中的点表示每个token的位置向量，颜色越深，token的位置越往后，在频率偏大的情况下，位置响亮点连成了一个闭环，靠前位置（黄色）和靠后位置（棕黑色）竟然靠得非常近：
由于其是周期函数，位置n移动到n+1，也就是曲线从黄色->棕色过渡，但是在途中n+1的位置相当于1位置，我们期待让其两个位置应该远离。所以我们必须让函数是单调递增的，所以我们需要降低所有的频率。故原作者选择了1/10,000的最小频率。
位置矩阵热图如下图所示：
以下是如何解读上述嵌入向量 p t → \overrightarrow{
{p}_{t}} pt热图
- 编码不需要大部分的 p t → \overrightarrow{ {p}_{t}} pt矩阵，途中红色部分表示刻度盘已经打开。正弦和余弦值分别远离其初始值 0 和 1。这表明有多少嵌入空间用于存储位置信息。沿着红色曲线，沿着深度更深一步激活表盘会变得更加困难。
- 较大深度处的垂直线变化小于较低深度处的损失。选择一个固定的深度，然后向上移动，注意颜色如何从亮→暗→亮变化……这个循环的频率随着深度的增加而降低，这表明我们之前的直觉是深度越大的表盘越敏感。(这里的敏感指的是数值精确度的敏感)
相对位置
正弦位置编码的另一个特点就是它允许模型毫不费力得关注相对位置信息。
M ⋅ [ s i n ( ω k ⋅ t ) c o s ( ω k ⋅ t ) ] d × 1 = [ s i n ( ω k ⋅ ( t + ϕ ) c o s ( ω k ⋅ ( t + ϕ ) ] d × 1 M\cdot\left[ \begin{matrix} sin({\omega}_{k}\cdot{t}) \\ cos({\omega}_{k}\cdot{t}) \\ \end{matrix} \right] _{d\times1}= \left[ \begin{matrix} sin({\omega}_{k}\cdot{(t+\phi}) \\ cos({\omega}_{k}\cdot{(t+\phi}) \\ \end{matrix} \right] _{d\times1} M⋅[sin(ωk⋅t)cos(ωk⋅t)]d×1=[sin(ωk⋅(t+ϕ)cos(ωk⋅(t+ϕ)]d×1
(证明过程)
通过上式我们可以发现 M M M能够允许 p t + ϕ → \overrightarrow{
{p}_{t+\phi}} pt+ϕ对于任意的固定偏置 ϕ \phi ϕ是 p t → \overrightarrow{
{p}_{t}} pt得线性函数，这个属性使得模型能够很方便得学习相对位置。
正弦位置编码的另一个特性是相邻时间步之间的距离是对称的并且随着时间的推移能够很好得衰减。
参考博客：
Transformer Architecture: The Positional Encoding
The Annotated Transformer的中文注释版（1）
The Annotated Transformer
知乎回答
Master Positional Encoding: Part I
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