中学开始,我们学过一元自变量的求导。但实际应用上往往需要多自变量求导。多元参数的思考方式也是化“未知为已知”的思想,我们可以将所有多元参数向量化。例如将多元的参数 x1,x2,... 变成一个向量变元 x=(x1,x2,...) 。这样从形式上又回到了我们熟悉的一元问题。后面提到多元函数参数时基本都用向量转化方法。
多元参数常常用向量表示,所以这里的表层含义就是相当于对向量求导。
1.1 f(x) 对向量x的一阶导数(这里x是向量)
一元函数的泰勒展开:
一元参数的极值问题在高中被虐过很多次了吧。。。非边界连续点的极值问题有一套固定的套路,求导=0,将解得的点代入二阶导判断正负
负:极大值;
正:极小值;
0:鞍点,不能判断。
多元参数的函数呢?
同样首先算导数g(x)=0,求得点,然后将解代入Hessian矩阵判断是否是正定矩阵。
正定:极小值
负定:极大值
不定:不能判断。
我们如果真的这么求,面临的问题会特别多。鞍点,无解等问题纷纷出现,兼职搞死宝宝了。工业上为了解决这种情况常用约束优化迭代法。就是我们常说的梯度下降法与拟牛顿法。由于这部分十分重要,我将用新文章加以整理。
上面挖了一个坑,这里有一个Hessian矩阵
如果函数z=f(x,y)在区域内连续,则下面公式的两个二阶混合偏导数相等才成立:
这就很尴尬了,Hassion矩阵看来不一定是对称矩阵。如果要强调Hassion矩阵是不是对称矩阵还要判断是否连续。我们多余判断这一步有没有意义呢?
性质:这里对称矩阵的特征值都是实数。
向量求二阶导举例时,发现结果就三种可能:正定矩阵,负定矩阵,不定矩阵。
我们是不是忘了什么东西?对,复数。Hassion矩阵如果变成反对阵矩阵就直接悲剧了。
这个东西的确难死,我之前在刷考研数学题时,都很少见过这样的。
我的方法就是设 G(x)=f′(x)
然后复杂反推。这实际上相当于求三阶导了。
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