2023年11月7日
#algebra
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ,若 A {A} A 满足
A H A = A A H = I A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H=I AHA=AAH=I
则称 A {A} A 为酉矩阵()。由定义可得
A − 1 = A H A^{-1}=A^ \mathrm H A−1=AH
当 A ∈ R n × n {A\in \mathbb R^{n \times n}} A∈Rn×n ,酉矩阵就是单位正交矩阵。
性质 若 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是酉矩阵,则
显然,酉矩阵列向量是空间中一组标准正交基,这是酉矩阵的充要条件。
设 A , B ∈ C n × n {A,B\in \mathbb C^{n \times n}} A,B∈Cn×n ,若存在酉矩阵 U {U} U 使得
B = U − 1 A U = U H A U B=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU B=U−1AU=UHAU
则称 A {A} A 与 B {B} B 酉相似。
相似变换与逆矩阵有关,相似变换前后的矩阵为相似矩阵。
合同变换与酉矩阵有关,合同变换前后的矩阵为合同矩阵。
设 ∀ A ∈ C n × n \forall A\in \mathbb C^{n \times n} ∀A∈Cn×n ,若存在酉矩阵 U {U} U 使得
T = U − 1 A U = U H A U = [ λ 1 t 12 ⋯ t 1 n 0 λ 2 ⋱ ⋮ 0 0 ⋱ t ( n − 1 ) n 0 0 0 λ n ] T=U^{-1}AU=U^ \mathrm HAU= \begin{bmatrix} \lambda_1 & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & t_{(n-1)n}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n \end{bmatrix} T=U−1AU=UHAU=
λ1000t12λ200⋯⋱⋱0t1n⋮t(n−1)nλn
其中 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 是 A {A} A 的特征值,即任意 A {A} A 都可酉相似与一个上三角矩阵 T {T} T 。
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 满足
A H A = A A H A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H AHA=AAH
则称A为正规矩阵。正规矩阵有以下类型:
正规矩阵不一定是以上六类矩阵。
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ,则A可酉相似对角化的条件是
A H A = A A H A^ \mathrm HA=AA^ \mathrm H AHA=AAH
即A为正规矩阵。方法如下:
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ,则
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵,如果
x H A x > 0 , ∀ x ∈ C n , x ≠ 0 x^ \mathrm HAx>0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0 xHAx>0,∀x∈Cn,x=0
则称 A {A} A 是一个正定的Hermit矩阵。
如果
x H A x ≥ 0 , ∀ x ∈ C n , x ≠ 0 x^ \mathrm HAx\ge0, \forall x\in \mathbb C^{n},x\ne 0 xHAx≥0,∀x∈Cn,x=0
则称 A {A} A 是一个半正定的Hermit矩阵。
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵,则下述条件等价
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是一个Hermit矩阵,则下述条件等价
设 A ∈ C m × n {A\in \mathbb C^{m \times n}} A∈Cm×n ,则
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