思考:
有三根柱子(A,B,C)。A柱子上面套着n个圆盘。这些圆盘大小各异,按从小到大的顺序自上而下摆放。
现在要把套在A柱上的n个圆盘全部移动到B柱上。并且移动圆盘时必须遵守下述规则:
首先:我们应该先从小汉诺塔入手。
一开始就考虑n个圆盘的话头脑会混乱,所以我们先缩小问题的规模,从3个圆盘开始思考。
即:暂时不考虑n个圆盘的问题,而是先找出3个圆盘的“3层汉诺塔”的解法。
经过尝试我们可以得到“3层汉诺塔”的解法,移动7次即可解决问题,即:
仔细观看这个移动过程,我们仿佛在做“重复且相似的事情”。之所以会有这种感觉是因为我们看到了一丝规律:
我们仔细看看图中①②③和⑤⑥⑦的移动过程:
再仔细看看移动2个圆盘的规律:
虽然移动的目的地不同,但是这两个行为动作却是非常相似的。而这种“移动2个圆盘”的动作不就是“2层汉诺塔”的解法吗。
用同样的思路我们可以进一步解决“5层汉诺塔”的问题,即:
通过这种方式我们可以总结出n层汉诺塔的解法:
我们用x,y,z来分别代表起点柱,目标柱,中转柱。注意:x,y,z并不具体代表A,B,C柱子,在不同情况下会不固定的对应A,B,C中的某一个。
解决n层汉诺塔的步骤,即:利用z柱将n个圆盘从x柱转移至y柱。
将n个圆盘从x柱,经由z柱中转,移到y柱时:
由以上步骤可知:为了解出n层汉诺塔,要使用n-1层汉诺塔的解法。
那么,我们可以用H(n)表示解出n层汉诺塔所需的最少移动次数。
当n=0时,H(0)=0;
当n=1时,H(1)=1;
当n=2时,H(2)=H(1) + 1 + H(1) = 3;
当n=3时,H(3)=H(2) + 1 + H(2) = 7;
。
。
。
最终我们可以得到:
即:
这就是我们这个问题的递推公式。
当然,仔细的朋友已经发现:
0 = 1 - 1;
1 = 2 - 1;
3 = 4 - 1;
7 = 8 - 1;
。。。
即:H(n) = 2^n - 1;
前面的思路其实已经相当于伪代码了。既然我们的思路已经这么清晰了,那我们来尝试写写代码吧:
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int hanoi(int n, char x, char y, char z);
int num = 0;
int main()
{
int n;
printf("请输入汉诺塔的层数:");
cin >> n;
hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
printf("共移动了 %d 次。\n", num);
return 0;
}
// n表示要将多少个"圆盘"从起始柱子A移动至目标柱子B
// x表示起始柱子,y表示目标柱子,z表示过渡柱子
int hanoi(int n, char x, char y, char z)
{
if (n == 0)
{
}
else
{
hanoi(n - 1, x, z, y);// 递归处理,一开始的时候,先将n-1个盘子移至过渡柱z上
printf("第%d步: 将 %d 号圆盘从 %c 移至 %c \n",num+1, n, x, y); // 然后再将最底下的大盘子直接移至目标柱子y
num++;
hanoi(n - 1, z, y, x); // 然后重复以上步骤,递归处理放在过渡柱z上的n-1个盘子,
// 这时x已经为空,所以x被当成过渡柱了
}
return 0;
}
假设我们算的是4层汉诺塔,运行结果如下:
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