现代控制理论（4）——李雅普诺夫稳定性理论_李亚普诺夫稳定性-程序员宅基地

文章目录

一、李雅普诺夫关于稳定性的定义
二、李雅普诺夫第一法
- 1.线性系统的稳定判据
- 2.非线性系统的稳定判据
三、李雅普诺夫第二法
- 1.标量函数的定号性
- 2.稳定性原理
四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
- 1.雅可比矩阵法
- 2.变量梯度法

一、李雅普诺夫关于稳定性的定义

系统 $\dot x=f(x,t)$ ,若存在状态 $x_e$ 满足 $\dot x_e\equiv 0$ ,则该状态为平衡状态

1.李氏意义下的稳定

系统对于任意选定的实数 $\varepsilon>0$ ,都存在一个实数 $\delta>0$ ,当满足 $||x_0-x_e||\leq\delta$
从任意 $x_0$ 出发的解都满足 $||\Phi-x_e||\leq\varepsilon$
则称平衡状态为李氏意义下的稳定
在这里插入图片描述

2.渐近稳定

解最终收敛于 $x_e$
在这里插入图片描述

3.大范围渐近稳定

从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态 $x_e$ 为大范围内渐近稳定

4.不稳定

不管 $\delta$ 有多小，只要由 $S(\delta)$ 内出发的状态轨迹超出 $S(\varepsilon)$ 以外，则称此平衡状态是不稳定的
在这里插入图片描述

二、李雅普诺夫第一法

1.线性系统的稳定判据

李氏稳定（状态稳定）的充要条件：系统矩阵A的全部特征值位于复平面的左半部
输出稳定的充要条件：传递函数 $W(s)=C(SI-A)^{-1}B$ 的全部极点位于复平面左半部
PS：输出稳定不一定状态稳定，可能存在零极点对消

2.非线性系统的稳定判据

非线性系统状态方程 $\dot x=f(x)$
$f(x)=[f_1,f_2\cdots f_n]$
向量函数的雅可比矩阵：
在这里插入图片描述
原非线性状态方程化为线性状态方程 $\Delta\dot x=\frac{\partial f}{\partial x^T}\Delta x$
其中 $\Delta x=x-x_e$
然后可套用线性系统的稳定判据

三、李雅普诺夫第二法

1.标量函数的定号性

$V (x)$ 为x所定义的标量函数，对于任何非零矢量x，如果：
1） $V (x) > 0$ ,则为正定的
2） $V(x)\geq0$ ,则为半正定的
3） $V (x) < 0$ ,则为负定的
3） $V(x)\leq0$ ,则为半负定的

2.稳定性原理

1、 $V (x)$ 正定, $\dot V(x)$ 负定，在原点是渐近稳定的
并且如果 $||x||->\infty,V(x)->\infty$ ,则系统是大范围渐近稳定的
2、 $V (x)$ 正定, $\dot V(x)$ 半负定，在非零状态 $\dot V(x)$ 不恒为 0,在原点是渐近稳定的
3、 $V (x)$ 正定, $\dot V(x)$ 半负定，在非零状态 $\dot V(x)$ 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定
4、 $V (x)$ 正定, $\dot V(x)$ 正定，在原点是不稳定的
5、 $V (x)$ 正定, $\dot V(x)$ 正半定，在非零状态 $\dot V(x)$ 不恒为 0,在原点是不稳定的
6、 $V (x)$ 正定, $\dot V(x)$ 正半定，在非零状态 $\dot V(x)$ 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定

四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

选定正定二次型函数 $V (x)$ 为李氏函数
$V(x)=x^TPx$
$\dot V(x)=x^T(PA+A^TP)x$
令 $Q=-(PA+A^TP)$
如果Q正定，则系统是大范围渐进稳定的
判定稳定性的步骤：
1、选取正定矩阵Q（通常是单位阵）
2、由 $Q=-(PA+A^TP)$ 求P
3、判断P的正定性
4、稳定性结论

五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

1.雅可比矩阵法

$\dot x=f(x)$
判定稳定性的步骤：
1、求雅可比矩阵
在这里插入图片描述
2、克拉索夫斯基表达式： $Q(x)=-[J^T+J]$
3、判断Q的正定性
4、稳定性结论
PS：克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件不是必要条件

2.变量梯度法

1、设 $\nabla V=$ 在这里插入图片描述
2、 $\dot V(x)=(\nabla V)^T\dot x$
限定 $\dot V(x)$ 为负定
3、利用 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个旋度方程确定 $\nabla V$ 中的未知数

4、计算并验证V正定性

5、确定系统渐进稳定的范围

本文链接：https://blog.csdn.net/wang7301/article/details/121318908

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