矩阵出现重复特征值，其特征向量的简便求法_特征值重复的时候求特征向量-程序员宅基地

技术标签： 线性代数  线性系统  特征向量  特征值  

矩阵重复特征值时，特征向量的简便求法

STEP 1 算特征值

设方阵A，比如说：
1 2 4 5
0 1 0 8
0 0 1 5
0 0 0 2
算它的特征值比如说a1=a2=a3=1, a4=2

STEP 2 找零度

  1. 首先构造（A-a1*E）矩阵
    0 2 4 5
    0 0 0 8
    0 0 0 5
    0 0 0 1

  2. 求（A-a1*E）的零度, null= n - rank ；%n 是方阵的阶数，null是零度， rank是矩阵的秩。

  3. 如例，此时rank=2, null=2。

STEP 3 判断零度null与特征值重复次数是否相等

  1. 如例，a1= a2= a3, 特征值重复了三次， 零度null=2。
  2. 若特征值与（A-a1*E）零度不同，进入STEP 4；若相同，进入STEP 5

STEP 4 使零度null与特征值重数相等

这一步就是疯狂对（A-a1*E）平方，直到平方后零度=特征值重数

  1. 因为（A-a1*E）的零度与特征值重复次数不等，我们给它来个平方再算。
  2. (A-a1*E)2=
    0 0 0 41
    0 0 0 8
    0 0 0 5
    0 0 0 1
    此时null=3，与特征值重复次数相等。
  3. 有的时候（A-a1E）平方后null也和特征值重复次数不同，那就对（A-a1E）立方，四次方， etc… 设这个次方数设为k，如例 k=2 。

STEP 5 找出部分特征向量

  1. 求解Q
    在这里插入图片描述
    解这个超简单，因为（A-a1*E）k的零度很高，基本上把矩阵写开，一眼就能看出来。
  2. 首先解第一个等式，它是可以解出null=3个线性无关解。
    如例k=2, Q1=[1 0 0 0]’ Q2=[0 1 0 0]’ Q3=[0 0 1 0]’
  3. 满足第二个等式的解有两个，Q1不满足。 为了方便大家验证，我把矩阵写到下面。
    (A-a1E)=
    0 2 4 5
    0 0 0 8
    0 0 0 5
    0 0 0 1
    (A-a1    E)2=
    0 0 0 41
    0 0 0 8
    0 0 0 5
    0 0 0 1

STEP 6 找出全部特征向量

  1. 刚才发现Q1不满足第二个等式，所以我们要求解真正的Q1。
  2. 利用 Qn=(A-a1*E)Qn+1 算出剩下的Q
  3. 解得Q1=[2 0 0 0]
  4. 最后用常规解法求出不重复特征值的特征向量
    Q4=[41 8 5 1]
  5. 最后四个特征向量全算出来了。
    Q=
    2 0 0 41
    0 1 0 8
    0 0 1 5
    0 0 0 1
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