对于给出的 n n n 个询问,每次求有多少个数对 ( x , y ) (x,y) (x,y) ,满足 a ≤ x ≤ b a ≤ x ≤ b a≤x≤b , c ≤ y ≤ d c ≤ y ≤ d c≤y≤d ,且 g c d ( x , y ) = k gcd(x,y) = k gcd(x,y)=k , g c d ( x , y ) gcd(x,y) gcd(x,y) 函数为 x x x 和 y y y 的最大公约数。
第一行一个整数 n n n,接下来 n n n 行每行五个整数,分别表示 a 、 b 、 c 、 d 、 k a、b、c、d、k a、b、c、d、k
共 n n n 行,每行一个整数表示满足要求的数对 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的个数
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2
14
3
100 % 100\% 100% 的数据满足: 1 ≤ n ≤ 50000 , 1 ≤ a ≤ b ≤ 50000 , 1 ≤ c ≤ d ≤ 50000 , 1 ≤ k ≤ 50000 1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000 1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000
题目求解
∑ x = a b ∑ y = c d [ g c d ( x , y ) = k ] \sum_{x = a}^{b}\sum_{y = c}^{d}[gcd(x, y) = k] x=a∑by=c∑d[gcd(x,y)=k]
令 f = [ g c d ( x , y ) = k ] f=[gcd(x,y)=k] f=[gcd(x,y)=k]
根据容斥的原理,我们可以知道
∑ x = a b ∑ y = c d f = ∑ x = 1 b ∑ y = 1 d f − ∑ x = 1 a − 1 ∑ y = 1 d f − ∑ x = 1 b ∑ y = 1 c − 1 f + ∑ x = 1 a − 1 ∑ y = 1 c − 1 f \sum_{x = a}^{b}\sum_{y = c}^{d}f=\sum_{x = 1}^{b}\sum_{y = 1}^{d}f-\sum_{x = 1}^{a-1}\sum_{y = 1}^{d}f-\sum_{x = 1}^{b}\sum_{y = 1}^{c-1}f + \sum_{x = 1}^{a-1}\sum_{y = 1}^{c-1}f x=a∑by=c∑df=x=1∑by=1∑df−x=1∑a−1y=1∑df−x=1∑by=1∑c−1f+x=1∑a−1y=1∑c−1f
所以重点在于 ∑ x = 1 n ∑ y = 1 m f \sum_{x = 1}^{n}\sum_{y = 1}^{m}f ∑x=1n∑y=1mf 的求法。
和以前一样,令 n ′ = ⌊ n k ⌋ , m ′ = ⌊ m k ⌋ n'=\lfloor{n\over k}\rfloor,m'=\lfloor{m\over k}\rfloor n′=⌊kn⌋,m′=⌊km⌋ 。
∑ x = 1 n ∑ y = 1 m [ g c d ( x , y ) = k ] = ∑ x = 1 n ′ ∑ y = 1 m ′ [ g c d ( x , y ) = 1 ] = ∑ x = 1 n ′ ∑ y = 1 m ′ ∑ d ∣ g c d ( x , y ) μ ( d ) = ∑ d = 1 m i n ( n ′ , m ′ ) μ ( d ) ∗ ⌊ n ′ d ⌋ ∗ ⌊ m ′ d ⌋ \begin{aligned} \sum_{x = 1}^{n}\sum_{y = 1}^{m}[gcd(x,y)=k] & =\sum_{x = 1}^{n'}\sum_{y = 1}^{m'}[gcd(x, y)=1]\\ &=\sum_{x = 1}^{n'}\sum_{y = 1}^{m'}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{min(n',m')}\mu(d)*\lfloor{n'\over d}\rfloor * \lfloor{m'\over d}\rfloor\\ \end{aligned} x=1∑ny=1∑m[gcd(x,y)=k]=x=1∑n′y=1∑m′[gcd(x,y)=1]=x=1∑n′y=1∑m′d∣gcd(x,y)∑μ(d)=d=1∑min(n′,m′)μ(d)∗⌊dn′⌋∗⌊dm′⌋
因此也可以分块计算。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e4 + 10;
int mu[maxn], prime[maxn], cnt = 0;
bool vis[maxn];
void init() {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
if (vis[i] == false) {
prime[cnt++] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < maxn; j++) {
vis[i * prime[j]] = true;
if (i % prime[j] == 0) {
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
} else {
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
mu[i] += mu[i - 1];
}
}
int solve(int a, int b) {
int ans = 0;
if (a > b) swap(a, b);
for (int l = 1, r; l <= a; l = r + 1) {
r = min(a/(a/l), b/(b/l));
ans += (mu[r] - mu[l - 1]) * (a/l) * (b/l);
}
return ans;
}
int main()
{
init();
int n, a, b, c, d, k;
scanf("%d", &n);
while (n--) {
scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);
printf("%d\n", solve(b/k, d/k) - solve(b/k, (c - 1)/k) - solve((a - 1)/k, d/k) + solve((a - 1)/k, (c - 1)/k));
}
return 0;
}
Given 5 5 5 integers: a , b , c , d , k , a, b, c, d, k, a,b,c,d,k, you’re to find x x x in a . . . b a...b a...b, y y y in c . . . d c...d c...d that g c d ( x , y ) = k gcd(x, y) = k gcd(x,y)=k. g c d ( x , y ) gcd(x, y) gcd(x,y) means the greatest common divisor of x x x and y y y. Since the number of choices may be very large, you’re only required to output the total number of different number pairs.
Please notice that, ( x = 5 , y = 7 x=5, y=7 x=5,y=7) and ( x = 7 , y = 5 x=7, y=5 x=7,y=5) are considered to be the same.
You can assume that a = c = 1 a = c = 1 a=c=1 in all test cases.
The input consists of several test cases. The first line of the input is the number of the cases. There are no more than 3 , 000 3,000 3,000 cases.
Each case contains five integers: a , b , c , d , k , 0 < a ≤ b ≤ 100 , 000 , 0 < c ≤ d ≤ 100 , 000 , 0 ≤ k ≤ 100 , 000 a, b, c, d, k, 0 < a \le b \le 100,000, 0 < c \le d \le 100,000, 0 \le k \le 100,000 a,b,c,d,k,0<a≤b≤100,000,0<c≤d≤100,000,0≤k≤100,000, as described above.
For each test case, print the number of choices. Use the format in the example.
2
1 3 1 5 1
1 11014 1 14409 9
Case 1: 9
Case 2: 736427
For the first sample input, all the 9 9 9 pairs of numbers are ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5) (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(3,5).
起始这题和上题差不多,一样的容斥。但是不同的是在这题看来, ( 2 , 3 ) (2,3) (2,3) 和 ( 3 , 2 ) (3,2) (3,2) 被看作是同样的一对,只计数一次。
题目已经说明保证 a = c = 1 a = c = 1 a=c=1。
所以我们只需要容斥进行这样子的处理:
令 f = [ g c d ( x , y ) = k ] f=[gcd(x,y) =k] f=[gcd(x,y)=k] 。
n u m ( f ) = ∑ x = 1 b ∑ y = 1 d f − ∑ x = 1 m i n ( b , d ) ∑ y = 1 m i n ( b , d ) f 2 num(f)=\sum_{x=1}^{b}\sum_{y=1}^{d}f-{\sum_{x=1}^{min(b,d)}\sum_{y=1}^{min(b,d)}f\over2} num(f)=x=1∑by=1∑df−2∑x=1min(b,d)∑y=1min(b,d)f
想想为什么?
因为只有满足 x , y ∈ [ 1 , m i n ( b , d ) ] x,y \in [1, min(b,d)] x,y∈[1,min(b,d)] 才会有重复对的情况吧?
接下来对式子的处理也很容易。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e5 + 10;
int mu[maxn],prime[maxn], cnt = 0;
bool vis[maxn];
void init() {
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
if (vis[i] == false) {
prime[cnt++] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 0; j < cnt && prime[j] * i < maxn; j++) {
vis[prime[j] * i] = true;
if (i % prime[j] == 0) {
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
} else {
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
mu[i] += mu[i - 1];
}
}
LL solve(int a, int b) {
LL ans = 0;
for (int l = 1, r; l <= a; l = r + 1) {
r = min(a/(a/l), b/(b/l));
ans += (LL)(mu[r] - mu[l - 1]) * (a/l) * (b/l);
}
return ans;
}
int main()
{
init();
int a, b, c, d, k, n;
scanf("%d", &n);
for (int ca = 0; ca < n; ca++) {
scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &k);
if (k == 0) {
printf("Case %d: 0\n", ca + 1);
continue;
}
if (b > d) swap(b, d);
printf("Case %d: %lld\n", ca + 1, solve(b/k, d/k) - solve(b/k, b/k)/2);
}
return 0;
}
文章浏览阅读1.6k次。安装配置gi、安装数据库软件、dbca建库见下:http://blog.csdn.net/kadwf123/article/details/784299611、检查集群节点及状态:[root@rac2 ~]# olsnodes -srac1 Activerac2 Activerac3 Activerac4 Active[root@rac2 ~]_12c查看crs状态
文章浏览阅读1.3w次,点赞45次,收藏99次。我个人用的是anaconda3的一个python集成环境,自带jupyter notebook,但在我打开jupyter notebook界面后,却找不到对应的虚拟环境,原来是jupyter notebook只是通用于下载anaconda时自带的环境,其他环境要想使用必须手动下载一些库:1.首先进入到自己创建的虚拟环境(pytorch是虚拟环境的名字)activate pytorch2.在该环境下下载这个库conda install ipykernelconda install nb__jupyter没有pytorch环境
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